Современные риск-системы
Множественность случайных величин

Сайты-компаньоны: English version Риск-консалтинг



Хорошо известно, что любая случайная величина порождает на множестве вещественных чисел распределение, которое однозначно описывается функцией распределения. Однако, обратное соответствие неоднозначно: каждой функции распределения соответствует, вообще говоря, много случайных величин, которые обладают данной функцией распределения. На данной странице иллюстрируется указанная множественность случайных величин.

Определения

Напомним определения случайной величины и ее функции распределения. Пусть (Ω,A,P) - вероятностное пространство, то есть, Ω - пространство элементарных событий, A - сигма-алгебра подмножеств Ω, которые считаются в данной модели (неэлементарными) событиями, а P - вероятностная мера на A. Случайной величиной X называется произвольное измеримое отображение из Ω в R. Функцией распределения случайной величины X называется функция FX ( z ) = P ( X ≤ z) вещественной переменной z.

Дискретный пример

Пусть сначала Ω конечно: Ω = { ω 1, ω 2, ω 3 }. При этом вероятностная мера P описывается тройкой неотрицательных чисел ( p1, p2, p3 ) таких, что p1 + p2 + p3 = 1 и

P (ω 1) = p1, P (ω 2) = p2, P (ω 3) = p3,

а произвольная случайная величина X задается тройкой вещественных чисел ( x1, x2, x3 ) таких, что

X (ω 1) = x1, X (ω 2) = x2, X (ω 3) = x3.

Зададим вероятностную меру посредством P = (1/4, 1/4, 1/2), и рассмотрим две случайные величины X1 = (1, 1, 2) и X2 = (2, 2, 1). Ясно, что обе случайные величины имеют одну и ту же функцию распределения

Непрерывный пример

Пусть теперь Ω = [0,1], A - борелевская сигма-алгебра на [0,1], P - равномерная мера (мера Лебега) на [0,1]. Случайная величина на таком вероятностном пространстве представляет собой измеримую функцию на [0,1] с вещественными значениями. Нетрудно проверить, что случайные величины

X1 = ω, X2 = 1 - ω, X3 = 1 - |2ω - 1|,

порождают одно и то же равномерное распределение на отрезке [0,1]. На следующем рисунке приведены графики этих функций (случайных величин).



Начало Введение Лекции Загрузка Публикации Иллюстрации Справочник Избранное Глоссарий Ссылки Доска Контакт
Copyright © 2000-2013, А.А.Новоселов Создание и доработка сайтов https://help2site.ru/